Julgue o item a seguir, considerando o par de variáveis aleatórias contínuas (U,V), cuja função de densidade conjunta é dada por em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 <

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação foi julgada ERRADO porque, ao calcular a variância de V diretamente, obtém‑se um valor menor que 0,1.

Primeiro obtemos a densidade marginal de V integrando a conjunta em u, \(f(u,v)=\dfrac{12}{11}(u^2+uv+v^2)\), para \(u\in(0,1)\). Assim \( \mathbf{f_V(v)}=\dfrac{1}{11}(12v^2+6v+4)\), para \(v\in(0,1)\).

Depois calculam‑se as expectativas: \( \mathbf{E[V]}=\int_0^1 v f_V(v)\,dv=\dfrac{7}{11}\) e \( \mathbf{E[V^2]}=\int_0^1 v^2 f_V(v)\,dv=\dfrac{157}{330}\). Pela fórmula \( \mathrm{Var}[V]=E[V^2]-(E[V])^2\) temos

\( \mathrm{Var}[V]=\dfrac{157}{330}-\Big(\dfrac{7}{11}\Big)^2 \approx 0{,}0708.\)

Como \(0{,}0708<0{,}1\), a declaração de que a variância de V é igual ou superior a 0,1 é falsa.