Questão FC99510
Julgue o item a seguir, considerando o par de variáveis aleatórias contínuas (U,V), cuja função de densidade conjunta é dada por em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 <
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 < v < 1, e u e v representam, respectivamente, os suportes de U e V.Os valores esperados de U e de V são iguais a 7/11.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para determinar o valor esperado das variáveis contínuas U e V, é fundamental começar pela função de densidade marginal. Esta é obtida através da integração da função de densidade conjunta em relação à outra variável. No caso de V, a densidade marginal é calculada como:
\( f_V(v) = \int_0^1 f(u,v) \, du \)
Utilizando a função densidade conjunta disponível, podemos proceder à integração e simplificação. Após calcular essa integral, obtemos \( f_V(v) \) e, em seguida, calculamos o valor esperado \( E[V] \) por meio da fórmula:
\( E[V] = \int_0^1 v \cdot f_V(v) \, dv \). Ao resolver essa expressão, encontramos que \( E[V] = \frac{7}{11} \).
Por simetria, como a função \( u^2 + uv + v^2 \) revela uma disposição uniforme entre as variáveis, o mesmo raciocínio aplicado a U levará ao resultado \( E[U] = \frac{7}{11} \). Portanto, a afirmação de que os valores esperados de U e V são iguais a \( \frac{7}{11} \) está, de fato, correta.
Assim, nosso gabarito é CERTO.
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