Questão FC99511
Julgue o item a seguir, considerando o par de variáveis aleatórias contínuas (U,V), cuja função de densidade conjunta é dada por em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 <
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
em que c é uma constante positiva, 0 < u < 1 e 0 < v < 1, e u e v representam, respectivamente, os suportes de U e V.A função de densidade de probabilidade de U, para 0 < u < 1, é
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para determinar a função de densidade marginal da variável aleatória \( U \), precisamos integrar a função de densidade conjunta \( f(u,v) \) em relação a \( v \) no seu suporte, que é de 0 a 1.
Assim, podemos escrever:
\( f_U(u) = \int_0^1 f(u,v) \, dv \).
Substituindo a função conjunta dada no enunciado, temos:
\( f_U(u) = \int_0^1 c \cdot \left( u^2 + uv + v^2 \right) \, dv \).
Extraímos a constante \( c \) e integramos cada termo separadamente:
\( = c \left( \int_0^1 u^2 \, dv + \int_0^1 uv \, dv + \int_0^1 v^2 \, dv \right) \).
As integrais se resolvem facilmente, resultando em:
\( = c \left( u^2 \cdot 1 + u \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = c \left( u^2 + \frac{u}{2} + \frac{1}{3} \right) \).
Finalmente, como \( c \) é a constante normalizadora, com a escolha correta de \( c \), a função resultante se alinha com a fórmula dada na questão, confirmando que a resposta está CERTA.
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