Questão FC99513
Considerando que W represente uma variável aleatória absolutamente contínua tal que P(W ≥ w) = e−2w, para w ≥ 0, e P(W ≥ w) = 1, para w < 0 definindo a variável aleatória discreta
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Se U for uma variável aleatória uniforme contínua no intervalo [0,1] e se fu(u) denota sua função de densidade de probabilidade, então P(W ≥ w ∣ T = t) = fu (u) em que u = w−t para quaisquer t ∈ {0,1,2,3,⋯}.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão proposta para entender por que a afirmação está ERRADA. Tem-se que a variável aleatória contínua \( W \) possui uma função de sobrevivência dada por \( P(W \geq w) = e^{-2w} \) para \( w \geq 0 \), e para \( w < 0 \), \( P(W \geq w) = 1 \). Essa função de sobrevivência indica que \( W \) segue uma distribuição exponencial com parâmetro 2.
Para a variável discreta \( T \), cuja probabilidade é dada por \( P(T = t) = P(t \leq W \leq t + 1) \), podemos reescrever essa probabilidade utilizando a função de sobrevivência de \( W \): \( P(T = t) = P(W \geq t) - P(W \geq t + 1) = e^{-2t} - e^{-2(t+1)} = e^{-2t}(1 - e^{-2}) \).
Agora, ao calcular \( P(W \geq w \mid T = t) \), aplicamos a definição de probabilidade condicional, resultando em \( P(W \geq w \mid T = t) = \frac{P(W \geq w \cap T = t)}{P(T = t)} \). Note que \( P(W \geq w \cap T = t) \) só será diferente de zero se \( w \) estiver dentro do intervalo \( [t, t + 1] \).
A partir daqui, podemos derivar \( P(W \geq w \cap T = t) \) como \( P(W \geq w) - P(W \geq t + 1) \). Quando substituímos, obtemos \( P(W \geq w \mid T = t) = \frac{e^{-2w} - e^{-2(t + 1)}}{e^{-2t}(1 - e^{-2})} = \frac{e^{-2(w - t)} - e^{-2}}{1 - e^{-2}} \).
Essa expressão não é a função de densidade de uma variável aleatória \( U \) que segue uma distribuição uniforme no intervalo \( [0, 1] \), que seria uma constante igual a 1. Portanto, concluímos que \( P(W \geq w \mid T = t) \neq f_u(u) \) onde \( u = w - t \). Assim, a resposta à questão está corretamente marcada como ERRADA.
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