Questão FC99514
Considerando que W represente uma variável aleatória absolutamente contínua tal que P(W ≥ w) = e−2w, para w ≥ 0, e P(W ≥ w) = 1, para w < 0 definindo a variável aleatória discreta
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
P(T = 3|W ≥ 3) = P(W ≤ 1).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar a relação entre as probabilidades P(T = 3 | W ≥ 3) e P(W ≤ 1), que nos permite concluir que a afirmação é verdadeira.
Primeiramente, consideremos a variável contínua W, cuja função de sobrevivência (ou seja, P(W ≥ w)) é dada por \( e^{-2w} \) para \( w ≥ 0 \). Agora, a variável discreta T determina sua probabilidade como P(T = t) = P(t ≤ W ≤ t + 1). Para o caso de T = 3, temos que 3 ≤ W ≤ 4. Assim, podemos reescrever a probabilidade condicional como:
\[P(T = 3 | W ≥ 3) = \frac{P(T = 3 ∩ W ≥ 3)}{P(W ≥ 3)}\] onde o numerador se torna P(3 ≤ W ≤ 4) e o denominador é simplesmente P(W ≥ 3).
Ao calcular o numerador: \[P(3 ≤ W ≤ 4) = P(W ≥ 3) - P(W ≥ 4) = e^{-6} - e^{-8} \]e já sabemos que \[P(W ≥ 3) = e^{-6}. \]Substituindo na equação original, obtemos:
\[P(T = 3 | W ≥ 3) = \frac{e^{-6} - e^{-8}}{e^{-6}} = 1 - e^{-2}.\] Agora, para o lado direito, é mais simples: \[P(W ≤ 1) = 1 - P(W ≥ 1) = 1 - e^{-2}. \] Dessa forma, ambos lados são iguais, confirmando que P(T = 3 | W ≥ 3) = P(W ≤ 1), e, portanto, a afirmação inicial está corretíssima.
Essa interligação entre variáveis contínuas e discretas nos mostra a elegância da Probability Theory!
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