Questão FC99515
Considerando uma função de distribuição condicional P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x na qual x ∈ {0, 1} e Y segue a distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1], de modo que 0 ≤
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2023
P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x
A média condicional E(X|Y) é uma variável aleatória cuja variância é igual a 1/12.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a função de distribuição condicional apresentada:
P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x
onde x pode assumir os valores 0 ou 1 e Y segue uma distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1].
Para calcular a média condicional \(E(X|Y=y)\), devemos usar a fórmula da expectativa: \(E(X|Y=y) = \sum_{x} x P(X=x|Y=y)\). No nosso caso, isso se traduz em:
\(E(X|Y) = 0 \cdot P(X=0|Y=y) + 1 \cdot P(X=1|Y=y) = P(X=1|Y=y) = y\).
Portanto, a média condicional \(E(X|Y)\) é a própria variável \(y\), que é uma variável aleatória uniforme no intervalo [0,1]. Agora, para determinar a variância de \(E(X|Y)\), podemos usar a fórmula da variância de uma variável uniforme. Para uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo [a, b], a variância é dada por \(\frac{(b-a)^2}{12}\). Assim, neste caso, temos:
\(a = 0\) e \(b = 1\), resultando em variância:
\(\frac{(1 - 0)^2}{12} = \frac{1}{12}\).
Portanto, a afirmação de que a variância da média condicional \(E(X|Y)\) é igual a \(1/12\) está correta.
Logo, a resposta ao item é CERTO.
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