Questão FC99516
Considerando uma função de distribuição condicional P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x na qual x ∈ {0, 1} e Y segue a distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1], de modo que 0 ≤
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2023
P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x
A distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y pode ser escrita como
P(X = x,Y = y) = P(X = x|Y = y)xP(Y = y).
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação que apresenta a distribuição conjunta das variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\). A função de distribuição condicional é dada por
P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x
com \(x\) assumindo os valores 0 ou 1, enquanto \(Y\) é uma variável contínua com distribuição uniforme no intervalo \([0,1]\), o que implica que \(0 \leq y \leq 1\).
A fórmula para a distribuição conjunta \(P(X = x, Y = y)\) realmente envolve a condicional e a marginal correspondente, ou seja:
P(X = x, Y = y) = P(X = x|Y = y) \times P(Y = y)
No entanto, aqui está o ponto crucial: a variável \(Y\) é contínua. Isso significa que a probabilidade de \(Y\) assumir um valor exato \(y\) é zero, em vez de ser uma probabilidade discreta. Portanto, não podemos simplesmente usar \(P(Y = y)\); devemos recorrer à função de densidade de probabilidade \(f_Y(y)\).
Consequentemente, a forma correta de expressar a distribuição conjunta seria:
f_{X,Y}(x,y) = P(X = x|Y = y) \times f_Y(y)
Assim, a afirmação inicial está ERRADA, pois ignora a natureza contínua de \(Y\) e utiliza uma notação inadequada para a distribuição de uma variável contínua.
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