Questão FC99517
Considerando uma função de distribuição condicional P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x na qual x ∈ {0, 1} e Y segue a distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1], de modo que 0 ≤
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2023
P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x
P(X = 0) = P(X = 1).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a função de distribuição condicional fornecida:
P(X = x|Y = y) = yx(1 − y)1−x
Aqui, x pode ser 0 ou 1. Essa equação nos diz como a variável aleatória X se comporta em relação a uma variável contínua Y, que segue a distribuição uniforme no intervalo [0,1].
Para compreendermos por que P(X = 0) = P(X = 1) é verdadeiro, examinamos as probabilidades condicionais:
- Quando X = 0, temos:
\( P(X = 0|Y=y) = (1-y) \)
- Quando X = 1, temos:
\( P(X = 1|Y=y) = y \)
Agora, Calculamos P(X = 0) e P(X = 1):
Através da (lei da probabilidade total), temos:
\( P(X=0) = \int_0^1 (1-y) f_Y(y) dy \) e \( P(X=1) = \int_0^1 y f_Y(y) dy \)
considerando que a função densidade de Y é constante e igual a 1, podemos simplificar:
\( P(X=0) = \int_0^1 (1-y) dy = 1\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) e \( P(X=1) = \int_0^1 y dy = \frac{1}{2} \). Portanto, concluímos que P(X = 0) = P(X = 1).
Assim, a afirmativa está correta!
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