Questão FC99522
Considerando que a função de densidade conjunta do par de variáveis aleatórias (X,Y), seja dada por julgue o próximo item E(X) > 0
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
julgue o próximo item
E(X) > 0
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para responder à afirmação E(X) > 0, precisamos fazer uma análise detalhada da função de densidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y. Dada a função de densidade descrita, a primeira tarefa é derivar a função marginal de X, que é obtida integrando a função conjunta em relação à variável Y:
\( f_X(x) = \int f_{X,Y}(x,y) \, dy \).
Ao calcular essa integral, é importante observar o intervalo de X, que é restrito a \([-1, 1]\). A função resultante, \( f_X(x) = \frac{3}{4}(1 - x^2) \), é uma função que simetricamente alcança valores positivos para \( x \) dentro do intervalo \([-1,1]\). No entanto, ao efetuar o cálculo do valor esperado E(X), temos:
\( E(X) = \int_{-1}^{1} x \cdot f_X(x) \, dx \).
Observando que o integrando, \( x \cdot f_X(x) \), é uma função ímpar e que estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno do zero, podemos concluir que:
\( E(X) = 0 \).
Portanto, como o valor esperado é igual a zero, a afirmação original é ERRADA. Essa análise nos ajuda a perceber que a distribuição simétrica em torno da origem implica que as contribuições de valores positivos e negativos de X se anulam, resultando em um valor esperado de zero.
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