Questão FC99524
Supondo que para y ∈ {0,1,2,3...}, em que m > 0, e M é uma variável aleatória contínua cuja função de densidade é dada por fM (m) = e−m, julgue o item a seguir.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
para y ∈ {0,1,2,3...}, em que m > 0, e M é uma variável aleatória contínua cuja função de densidade é dada por fM (m) = e−m, julgue o item a seguir.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para analisarmos a relação entre as variáveis Y e M, devemos compreender a distribuição conjunta que nos é apresentada. A condição P(Y=y|M=m)=\frac{e^{-m} m^y}{y!}, para y ∈ \{0,1,2,3...\} e m > 0, indica que Y se comporta como um processo de Poisson dependente de M. Isso nos leva a calcular a distribuição marginal de Y através da integral: P(Y=y)=\int_{0}^{\infty} P(Y=y|M=m) f_M(m) dm. Ao substituir as funções dadas, chegamos a uma integral que podemos simplificar com a ajuda da função gama. Essa função, essencial para nosso cálculo, é definida por Γ(z+1)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z} dt.
Ao fazer a substituição t=2m, transformamos nossa integral e encontramos que P(Y=y)=\frac{1}{y!} \cdot \frac{Γ(y+1)}{2^{y+1}}. Como Γ(z+1)=z! para z inteiro não negativo, isto nos leva a P(Y=y)=\frac{1}{2^{y+1}}, confirmando que a afirmação inicial está CERTA. Portanto, P(Y=y)=\frac{1}{2^{y+1}} para y ∈ \{0,1,2,3...\} é verdadeiramente válida!
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