Questão FC99525
Supondo que para y ∈ {0,1,2,3...}, em que m > 0, e M é uma variável aleatória contínua cuja função de densidade é dada por fM (m) = e−m, julgue o item a seguir. Y e M são variáveis
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
para y ∈ {0,1,2,3...}, em que m > 0, e M é uma variável aleatória contínua cuja função de densidade é dada por fM (m) = e−m, julgue o item a seguir.Y e M são variáveis aleatórias independentes.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entendermos a questão da independência entre as variáveis aleatórias Y e M, precisamos olhar para a relação entre suas distribuições. Para que duas variáveis sejam consideradas independentes, a probabilidade de Y assumir um valor específico dado M deve ser igual à probabilidade de Y assumir esse valor sem nenhuma informação sobre M. Em termos matemáticos, isso significa que deve valer a seguinte igualdade:
\(P(Y=y | M=m) = P(Y=y)\).
Porém, observe que a distribuição de Y condicionada a M em nossa situação é dada por \(P(Y=y | M=m) = \frac{e^{-m} m^y}{y!}\). Essa forma, claramente, é função de m, indicando que à medida que M varia, a distribuição de Y também se altera. Portanto, isso demonstra que as duas variáveis não são independentes porque a condição M impacta substancialmente no comportamento de Y. Assim, a afirmação de que Y e M são independentes está, de fato, ERRADA.
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