Questão FC99546
Considerando que X representa uma variável aleatória com suporte x ∈ {−2,−1,0,+1,+2}, cuja função de distribuição de probabilidade é dada no quadro acima, na qual c é uma constante
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Considerando que X representa uma variável aleatória com suporte x ∈ {−2,−1,0,+1,+2}, cuja função de distribuição de probabilidade é dada no quadro acima, na qual c é uma constante real positiva, julgue o próximo item.
A média de X é igual a zero.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para começarmos a analisar a média da variável aleatória \(X\), precisamos, inicialmente, descobrir o valor da constante \(c\). Como sabemos, para que uma função de probabilidade esteja em conformidade com as regras da teoria das probabilidades, a soma das probabilidades de todos os possíveis resultados assumidos por \(X\) deve ser igual a 1. Assim, somamos as quantidades dadas na tabela:
5c + 1c + 2c + 3c + 4c = 1.
Resolvendo a equação, encontramos que \(15c = 1\) e, portanto, c = \frac{1}{15}. Com a constante \(c\\) em mãos, podemos atualizar as probabilidades na tabela como segue:
P(X=-2) = \frac{5}{15}, P(X=-1) = \frac{1}{15}, P(X=0) = \frac{2}{15}, P(X=1) = \frac{3}{15}, P(X=2) = \frac{4}{15}.
Agora, ao calcular a média, denotada por \(E(X)\), utilizamos a fórmula \(E(X) = \sum x \cdot P(X=x)\). Assim,
\(E(X) = (-2)\cdot\frac{5}{15} + (-1)\cdot\frac{1}{15} + 0\cdot\frac{2}{15} + 1\cdot\frac{3}{15} + 2\cdot\frac{4}{15}\).
Realizando os cálculos, obtemos:
\(-\frac{10}{15} - \frac{1}{15} + \frac{3}{15} + \frac{8}{15} = 0\).
Portanto, confirmamos que a média de \(X\) é, de fato, igual a zero, justificando assim a afirmação inicial.
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