Questão FC99548
Considerando que W represente uma variável aleatória absolutamente contínua tal que P(W ≥ w) = e−2w, para w ≥ 0, e P(W ≥ w) = 1, para w < 0 definindo a variável aleatória discreta
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
, julgue o seguinte item.O valor esperado de T é igual a 0,5.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão apresentada sobre as variáveis aleatórias W e T. A primeira, W, é contínua e possui a função de sobrevivência dada por \( P(W \geq w) = e^{-2w} \) para \( w \geq 0 \). Agora, queremos entender a distribuição da variável discreta T, definida como \( P(T = t) = P(t \leq W \leq t + 1) \) onde \( t \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \).
Ao reescrever essa probabilidade, obtemos:
\( P(T = t) = P(W \geq t) - P(W \geq t + 1) \). Substituindo a função de sobrevivência, isso resulta em:
\( P(T = t) = e^{-2t} - e^{-2(t + 1)} = e^{-2t}(1 - e^{-2}) \).
Por essa forma, podemos identificar que \( T \) segue uma distribuição geométrica com parâmetro \( p = 1 - e^{-2} \).
O valor esperado de uma variável aleatória com distribuição geométrica do tipo que estamos tratando (domínio \( 0, 1, 2, \ldots \)) é dado por \( E[T] = \frac{1 - p}{p} \). Ao calcular, configurando \( p \), temos:
\( E[T] = \frac{e^{-2}}{1 - e^{-2}} \). Desta forma, o cálculo não resulta em \( 0.5 \), o que nos leva a concluir que a afirmação de que \( E[T] = 0,5 \) está incorreta, ou seja, a resposta correta é ERRADO.
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