Considerando duas variáveis, X e Y, cujas variâncias da diferença e da soma entre elas sejam, respectivamente, Var(X − Y) = 7 e Var(X + Y) = 5, julgue o item a seguir. A variância

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Usando as fórmulas básicas, temos \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2\,Cov(X,Y)=5\) e \(Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2\,Cov(X,Y)=7\).

Subtraindo as equações obtemos \(4\,Cov(X,Y)=5-7=-2\), logo Cov(X,Y)=-0.5. Somando as equações resulta \(2[Var(X)+Var(Y)]=12\), portanto Var(X)+Var(Y)=6.

Com apenas essas informações não se determina separadamente \(Var(X)\) e \(Var(Y)\), existe uma infinidade de pares que somam 6. Além disso, se fosse verdade \(Var(X)=6{,}5\), então \(Var(Y)=6-6{,}5=-0{,}5\), o que é impossível, pois variância não pode ser negativa. Logo a afirmação de que \(Var(X)=6{,}5\) é errada.