Questão FC99562
Considerando que as variáveis aleatórias X e Y sejam normais, mutuamente independentes e identicamente distribuídas, e supondo que μ e σ representem, respectivamente, a média e o d
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Nas condições apresentadas, Var[X+ Y ] > Var[X− Y ].
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que Var[X + Y] > Var[X - Y] é, na verdade, INCORRETA. Para entender isso, vamos recordar como calculamos a variância da soma e da diferença de variáveis aleatórias. Utilizando as propriedades fundamentais da variância, temos:
Formalmente, a variância da soma de duas variáveis aleatórias \( X \) e \( Y \) é dada por:
\( Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) \).
De modo similar, a variância da diferença é calculada como:
\( Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y) \).
No entanto, no nosso caso específico, as variáveis \( X \) e \( Y \) são independentes. Isso implica que a covariância entre elas é zero: \( Cov(X, Y) = 0 \). Logo, as fórmulas se simplificam consideravelmente:
\( Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) \) e
\( Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) \).
Desse modo, tanto a variância da soma quanto a da diferença resultam em um valor idêntico: \( Var(X + Y) = Var(X - Y) \). Portanto, a desigualdade Var[X + Y] > Var[X - Y] não se sustenta, confirmando que a alternativa correta é mesmo a de que a afirmação está ERRADA.
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