Questão FC99563
Julgue o seguinte item, considerando duas variáveis aleatórias R e S, tais que e O valor esperado de (R + S)2 é igual 1.
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
e 
O valor esperado de (R + S)2 é igual 1.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar o valor esperado de \( (R + S)^2 \) e entender por que sua resposta está correta ao afirmar que é igual a 1.
Para começar, sabemos que o valor esperado de uma soma pode ser expresso como a soma dos valores esperados individuais, ou seja, \( E[R + S] = E[R] + E[S] \). No nosso caso específico, temos \( E[R] = 0 \) e \( E[S] = 0 \), resultando em \( E[R + S] = 0 + 0 = 0 \).
Agora, usando a relação da variância, podemos lembrar que a variância da soma de duas variáveis aleatórias é dada por:\( Var(R + S) = Var(R) + Var(S) + 2Cov(R, S) \). Seguindo os dados fornecidos, sabemos que \( Var(R) = 9 \) e \( Var(S) = 4 \). A covariância, neste caso, é \( Cov(R, S) = -6 \). Assim, substituindo, temos:
\( Var(R + S) = 9 + 4 + 2(-6) = 1 \).
Agora, aplicamos o resultado na fórmula do valor esperado do quadrado, que nos leva a:
\( E[(R + S)^2] = Var(R + S) + (E[R + S])^2 \). Como \( E[R + S] = 0 \) já foi calculado, temos:
\( E[(R + S)^2] = 1 + 0^2 = 1 \).
Portanto, o valor esperado de \( (R + S)^2 \) de fato é 1, confirmando nossa resposta como CERTA.
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