O item a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de Estatística e Econometria. Caso X e Y sejam variáveis aleatórias com médi

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação foi julgada ERRADO porque confundiu a unidade e a expressão correta da variância. A média de \(U=X-Y\) está correta, pois \(E(U)=E(X)-E(Y)=\mu-\mu=0\), então a média é zero.

Já a variância obedece à propriedade \(Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2\,Cov(X,Y)\). Como \(Var(X)=Var(Y)=\sigma^2\) e \(Cov(X,Y)=\rho\,\sigma^2\), tem-se \(Var(U)=\sigma^2+\sigma^2-2\rho\sigma^2=2\sigma^2(1-\rho)\).

Portanto a variância não é \(2\sigma\), que ainda teria unidade distinta, e sim \(2\sigma^2(1-\rho)\). Se o enunciado quis dizer desvio padrão, então \(SD(U)=\sigma\sqrt{2(1-\rho)}\). Casos úteis, se \(\rho=1\) então \(Var(U)=0\), se \(\rho=0\) então \(Var(U)=2\sigma^2\).