Considere um par (X, Y) de variáveis aleatórias discretas, tais que X~Binomial (10, ) e Y~Binomial (10, ). Sabendo que Cov (X, Y) = −1,1, julgue o seguinte item acerca da diferença

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Usamos a fórmula geral da diferença: variância de \(Z=Y-X\) é \(Var(Z)=Var(Y)+Var(X)-2\,Cov(X,Y)\). Essa identidade vale para quaisquer variáveis com covariância definida.

Como \(X\) e \(Y\) são binomial, \(Var(X)=n_X p_X(1-p_X)\) e \(Var(Y)=n_Y p_Y(1-p_Y)\). Assim \(Var(X)=10\cdot\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=2{,}5\) e \(Var(Y)=10\cdot\frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{5}\right)=1{,}6\).

Com a covariância dada \(Cov(X,Y)=-1{,}1\), substituímos: \(Var(Z)=2{,}5+1{,}6-2(-1{,}1)=4{,}1+2{,}2=6{,}3\). Portanto o valor informado está correto.