Questão FC99567
Uma curva de regressão da variável aleatóriaY sobre é dada por , em que o par de variáveis aleatórias (X, Y) segue uma distribuição normal bivariada, a média de X é igual a zero, V
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2022
é dada por 
, em que o par de variáveis aleatórias (X, Y) segue uma distribuição normal bivariada, a média de X é igual a zero, Var[Y] = 4 e Var [X] = 1.Considerando a situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir.
A correlação linear entre X e Y é igual a −1.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação de que a correlação linear entre X e Y é igual a -1 está ERRADA, devemos examinar de perto a relação entre a reta de regressão e a correlação. O modelo de regressão indicado é \(E[Y|X=x] = 1 - x\), onde identificamos que o coeficiente angular \(β\) é -1. Isso nos dá uma pista sobre a relação de X e Y, mas não nos fornece automaticamente a correlação.
A correlação de Pearson, notada como \(r\), está relacionada ao coeficiente angular \(β\) e às variâncias das variáveis em questão, conforme a fórmula: \(r = β \cdot \frac{s_X}{s_Y}\). Aqui, temos \(s_X = \sqrt{Var[X]} = \sqrt{1} = 1\) e \(s_Y = \sqrt{Var[Y]} = \sqrt{4} = 2\). Assim, substituindo os valores, encontramos:
\(r = -1 \cdot \frac{1}{2} = -0,5\).
Portanto, embora a relação entre as variáveis seja inversa, a correlação linear não atinge -1, mas sim -0,5, o que implica que a resposta está INCORRETA.
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