Considerando que X e Y sejam variáveis aleatórias que seguem a distribuição normal padrão, tais que E[(2X + Y)2] = 7, julgue o próximo item. A covariância entre as variáveis X e Y

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Expandindo a expressão e usando \(E[X^2]=E[Y^2]=1\) para variáveis normais padrão, temos \(E[(2X+Y)^2]=E[4X^2+Y^2+4XY]=4+1+4E[XY]=7\).

Da igualdade anterior segue \(4E[XY]=7-5\), logo \(E[XY]=0{,}5\). Como \(E[X]=E[Y]=0\) em normal padrão, a covariância satisfaz \(\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=E[XY]=0{,}5\).

Portanto a covariância entre X e Y é \(0{,}5\), valor que é claramente inferior a \(0{,}95\). Como a assertiva perguntou se é igual ou inferior a \(0{,}95\), a resposta é correta.