Questão FC99570
Considerando duas variáveis, X e Y, cujas variâncias da diferença e da soma entre elas sejam, respectivamente, Var(X − Y) = 7 e Var(X + Y) = 5, julgue o item a seguir. A correlação
Variáveis Aleatórias
A correlação linear entre X e Y é negativa.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a correlação linear entre as variáveis X e Y é negativa, vamos analisar as variâncias da soma e da diferença. Sabemos que:
A variância da soma é dada por:
\( Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) \)
E a variância da diferença é:
\( Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X, Y) \)
Substituindo os valores que temos, temos que:
\( Var(X + Y) = 5 \)
\( Var(X - Y) = 7 \)
Agora, vamos formar um sistema de equações com essas duas informações. Se chamarmos \( Var(X) + Var(Y) = A \), ficamos com:
1) \( A + 2Cov(X, Y) = 5 \)
2) \( A - 2Cov(X, Y) = 7 \)
Subtraindo a segunda equação da primeira, simplificamos para encontrar a covariância:
\( 4Cov(X, Y) = -2 \)
Assim, temos que \( Cov(X, Y) = -0,5 \), ou seja, a covariância é negativa.
A correlação linear, que mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis, é calculada como:
\( corr(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \)
Dado que a covariância é negativa e as variâncias são sempre positivas, a correlação resultará em um valor negativo. Portanto, podemos concluir que a afirmação de que a correlação linear entre X e Y é negativa está correta.
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