Questão FC99571
Julgue o seguinte item, considerando duas variáveis aleatórias R e S, tais que e A correlação entre (R + S) e (R - S) é igual a 1.
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
e 
A correlação entre (R + S) e (R - S) é igual a 1.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a correlação entre as variáveis \(R + S\) e \(R - S\). A correlação linear, que revela a força e a direção da relação entre duas variáveis, pode ser calculada usando a fórmula:
corr(X,Y) = \(\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) \cdot Var(Y)}}\).
Primeiramente, precisamos calcular a covariância entre \(R + S\) e \(R - S\):
\(Cov(R+S, R-S) = Cov(R, R) + Cov(R, -S) + Cov(S, R) + Cov(S, -S)\). Neste caso, sabemos que \(Cov(R, -S) = -Cov(R, S)\), e como \(Cov(S, R) = Cov(R, S)\), podemos simplificar a expressão, resultando em:
\(Cov(R + S, R - S) = Var(R) - Var(S)\).
Com valores médios de \(E[R] = 0\) e \(E[S] = 0\), temos variâncias \(Var(R) = 9\) e \(Var(S) = 4\) e, portanto, \(Cov(R + S, R - S) = 9 - 4 = 5\). Agora, vamos calcular as variâncias:
Para \(Var(R + S)\) temos:
\(Var(R + S) = Var(R) + Var(S) + 2Cov(R, S) = 9 + 4 + 2(-6) = 1\).
E para \(Var(R - S)\):
\(Var(R - S) = Var(R) + Var(S) - 2Cov(R, S) = 9 + 4 - 2(-6) = 25\).
Agora podemos substituir os valores na fórmula da correlação:
corr(R + S, R - S) = \(\frac{5}{\sqrt{1 \cdot 25}} = \frac{5}{5} = 1\).
Portanto, a afirmação está CERTA! Essa relação perfeita entre \(R + S\) e \(R - S\) manifesta-se em uma correlação de 1, indicando que um aumento em uma variável se relaciona perfeitamente com um aumento na outra. Assim, a análise da correlação revela uma conexão direta e linear entre as duas expressões.
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