Questão FC99573
Considerando que uma amostra aleatória simples X0,X1⋯,Xn seja retirada de uma distribuição com média μ e variância σ2 com respeito à soma ponderada na qual , julgue o item que se s
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2022
na qual
, julgue o item que se segue.Se a soma for representada na forma
, em que n ≥ 1. então a correlação de Pearson entre Sn−1 e Xn será igual a 
.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos examinar por que a afirmação é ERRADA. Para isso, iniciaremos com a covariância entre Sn−1 e Xn, que podemos definir como:
\(\text{cov}(S_{n-1}, X_n) = E(S_{n-1} X_n) - E(S_{n-1})E(X_n)\).
Agora, ao calcular \(E(S_{n-1} X_n)\), obtemos:
\[E(S_{n-1} X_n) = E\left(X_n \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \phi_k X_k\right) = \sum_{k=0}^{n-1} \phi_k E[X_k X_n].\]
Sendo X0, X1, ..., Xn amostras de uma população, essas variáveis são independentes. Assim, podemos dizer que:
\(E[X_k X_n] = E[X_k] E[X_n] = \mu^2\).
Isso implica que:
\[E(S_{n-1} X_n) = \mu^2 \sum_{k=0}^{n-1} \phi_k.\]
Em seguida, devemos analisar o termo \(E(S_{n-1}) E(X_n)\):
\[E(S_{n-1}) E(X_n) = E\left(\sum_{k=0}^{n-1} \phi_k X_k\right)E(X_n) = \mu^2 \sum_{k=0}^{n-1} \phi_k.\]
Substituindo esses resultados na fórmula da covariância, temos:
\(\text{cov}(S_{n-1}, X_n) = \mu^2 \sum_{k=0}^{n-1} \phi_k - \mu^2 \sum_{k=0}^{n-1} \phi_k = 0\).
Como a covariância entre Sn−1 e Xn é zero, a correlação de Pearson, que depende da covariância, também será zero. Dessa forma, a afirmação de que a correlação é igual a uma certa fração não se sustenta: a resposta está, portanto, confirmada como ERRADA.
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