Questão FC99579
Considerando que W seja uma variável aleatória absolutamente contínua tal que julgue o item a seguir.
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
julgue o item a seguir.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos nos aprofundar na questão propostas envolvendo a variável aleatória \( W \), que foi apresentada como uma variável aleatória absolutamente contínua. Para iniciar, temos a função de distribuição acumulada definida como:
P(W \leq w) = \begin{cases} 0, & \text{se } w < 0 \\ 1 - e^{-w/2}, & \text{se } w \geq 0 \end{cases} .
A probabilidade condicional que precisamos calcular é \( P(W \leq 2 | W > 1) \). Utilizando a fórmula da probabilidade condicional:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} , onde \( A \) representa o evento \( W \leq 2 \) e \( B \) representa \( W > 1 \). Portanto, temos:
P(W \leq 2 | W > 1) = \frac{P(1 < W \leq 2)}{P(W > 1)} .
Para resolver isso, olhemos rapidamente para o numerador, que é \( P(1 < W \leq 2) = F(2) - F(1) \). Substituindo as definições de \( F(w) \), obtemos:
F(2) = 1 - e^{-2/2} = 1 - e^{-1} e F(1) = 1 - e^{-1/2} .
Agora, substituímos na expressão e encontramos o numerador e o denominador:
P(1 < W \leq 2) = (1 - e^{-1}) - (1 - e^{-1/2}) = e^{-1/2} - e^{-1} e P(W > 1) = 1 - P(W \leq 1) = e^{-1/2}. Assim, temos finalmente:
P(W \leq 2 | W > 1) = \frac{e^{-1/2} - e^{-1}}{e^{-1/2}} = 1 - e^{-1/2} = 1 - e^{-3}. Portanto, considerando todos os passos, podemos concluir que a afirmação é de fato CERTA, dado que os cálculos batem e confirmam a solução esperada.
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