Questão FC99583
Considere uma variável aleatória contínua X cuja função densidade de probabilidade, f(x), seja dada por Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição unifo
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição uniforme no intervalo [m,n].
Com base nessa situação hipotética, julgue o próximo item.
E [X3] = 0
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para compreender por que afirmamos que E[X3] = 0, vamos explorar algumas propriedades importantes das funções e integrais.
A função densidade de probabilidade f(x) é uma função par. Isso significa que f(x) = f(-x). Ao calcular a esperança de X elevada ao cubo, expressamos isso através da integral:
E[X3] = \int_{-a}^{a} x^{3} f(x) dx.
Veja que x3 é uma função ímpa, ou seja, x3 = -(-x)3. Portanto, quando multiplicamos uma função ímpar por uma função par, o resultado é uma função ímpar: x3 f(x) também é ímpar.
Quando integramos uma função ímpar simétrica em torno da origem, como em -a a a, a área sob a curva cancela, resultando em zero. Assim, concluímos que:
E[X3] = 0, o que confirma que a afirmativa está correta.
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