Questão FC99584
Considere uma variável aleatória contínua X cuja função densidade de probabilidade, f(x), seja dada por Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição unifo
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição uniforme no intervalo [m,n].
Com base nessa situação hipotética, julgue o próximo item.
A variância de X é
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos entender por que a afirmação sobre a variância de X está ERRADA.
Para calcular a variância, usamos a fórmula:
\( \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)
Precisamos primeiro encontrar \(E(X)\) e \(E(X^2)\). A expectativa de X é dada por:
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \)
Entretanto, se f(x) for uma função par, a multiplicação de x (que é uma função ímpar) torna a integral nula, resultando em \( E(X) = 0 \).
Por outro lado, a expectativa de \(E(X^2)\) é:
\( E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx \)
Neste caso, \(x^2\) é par e, portanto, a integral tem um valor positivo e finito. Calculando essa integral corretamente, encontramos um resultado não nulo.
Isso implica que a variância vai se resumir a \( \text{Var}(X) = E(X^2) - 0^2 = E(X^2) \), que é um valor positivo.
Diante disso, a resposta afirmando um valor específico para a variância, sem considerar esse raciocínio fundamental, revela-se equivocada.
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