Questão FC99588
Considerando que a função de densidade de probabilidade f(x) de uma variável aleatória absolutamente contínua X seja tal que e, para qualquer a ≥ 0, julgue o próximo item. E(X2) >
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
e, para qualquer a ≥ 0,
julgue o próximo item.
E(X2) > 1.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão proposta sobre a variável aleatória contínua \( X \). Inicialmente, sabemos que sua função de densidade de probabilidade \( f(x) \) está definida de modo que a integral ao longo do intervalo \([-1, 1]\) resulta em 1, isto é,
\( \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 1 \).
Isso indica que toda a probabilidade está concentrada nesse intervalo.
Além disso, a condição de simetria dada por \( \int_{0}^{-a} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(x) \, dx \) sugere que a distribuição tem um centro em zero, implicando que a média, \( E(X) \), deve ser igual a 0.
Para calcular \( E(X^2) \), utilizamos a relação da variância:
\( \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \). Sabendo que \( E(X) = 0 \), temos que \( \text{Var}(X) = E(X^2) \).
No entanto, a variância de uma variável cujos valores estão restritos a \([-1, 1]\) não pode exceder 1. Entre os limites inferior e superior, a média dos quadrados \( E(X^2) \) também não poderá alcançar valores superiores a 1, logo, podemos concluir que \( E(X^2) < 1 \).
Assim, a afirmação de que \( E(X^2) > 1 \) é, de fato, ERRADA.
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