Questão FC99589
Considerando que a função de densidade de probabilidade f(x) de uma variável aleatória absolutamente contínua X seja tal que e, para qualquer a ≥ 0, julgue o próximo item.
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
e, para qualquer a ≥ 0,
julgue o próximo item.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão proposta e entender por que a afirmação é ERRADA. A função de densidade de probabilidade f(x) é definida de tal forma que a área sob a curva entre -1 e 1 é igual a 1, dado por \( \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 1 \).
Isso significa que toda a probabilidade da variável aleatória se concentra nesse intervalo.
Além disso, a simetria da função implica que, para quaisquer limites a ≥ 0, a área à esquerda e à direita do zero será a mesma: \( \int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(x) \, dx \).
Agora, quanto à integral \( \int_{0}^{-5} f(x) \, dx \), temos que considerar que essa integral é um caso de limites invertidos e, portanto, deve ser considerada como negativa, resultando em zero, pois para qualquer limite fora do intervalo \([-1, 1]\), a função f(x) se anula.
Por outro lado, analisando a integral \( \int_{1}^{0} f(x) \, dx \), que também calcula a área entre 1 e 0, observa-se que essa integral resulta em um valor igual a zero, uma vez que não contém áreas sob a curva.
Assim, concluímos que \( \int_{0}^{-5} f(x) \, dx = 0 \) e \( \int_{1}^{0} f(x) \, dx = 0 \), levando à mesma conclusão: as duas integrais são iguais e, portanto, a afirmação original se mostra falsa.
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