Questão FC99590
Considerando que W seja uma variável aleatória absolutamente contínua tal que julgue o item a seguir. E(W2) = 1.
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
julgue o item a seguir.
E(W2) = 1.
- Certo
- Errado
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a variável aleatória \( W \) que possui uma distribuição acumulada dada por P(W ≤ w) = 1 - e^{-w^2}\ para \( w \geq 0 \). Para validar a afirmativa E(W²) = 1, precisamos primeiro deduzir a função de densidade de probabilidade \( f_W(w) \), que é obtida derivando a função acumulada. Assim, obtemos:
\( f_W(w) = \frac{d}{dw}(1 - e^{-w^2}) = 2w e^{-w^2} \) para \( w \geq 0 \).
A expectativa de \( W² \) é dada por,
\( E(W^2) = \int_0^{\infty} w^2 f_W(w) dw = \int_0^{\infty} w^2 (2w e^{-w^2}) dw = \int_0^{\infty} 2w^3 e^{-w^2} dw \).
Fazendo a substituição \( x = w^2 \) (portanto, \( dx = 2w dw \)), conseguimos reescrever a integral como:
\( E(W^2) = \int_0^{\infty} x e^{-x} dx \).
Essa integral é famosa na matemática e seu valor é 1, conforme podemos enfatizar através da técnica de integração por partes. Portanto, temos finalmente que,
E(W²) = 1 é uma afirmação correta! Assim, o gabarito está, sem dúvida, CERTO.
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