Questão FC99596
Considerando que X seja uma variável aleatória absolutamente contínua cuja função de distribuição acumulada seja representada por F(x), na qual julgue o próximo item, referente à t
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
julgue o próximo item, referente à transformação Y = F(X).Y4 segue uma distribuição beta.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos abordar a questão de forma clara e envolvente. A variável aleatória X é descrita por uma função de distribuição acumulada F(x). Ao considerarmos a transformação Y = F(X), estamos essencialmente mapeando os valores de X em um novo espaço. Este mapeamento é fundamental, pois, independentemente da distribuição original de X, a nova variável Y resultará sempre em uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1]. Para entender isso, vamos recordar que a probabilidade de Y ser menor ou igual a um valor y é expressa como:
\( P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y) \).
Como F(X) é a função acumulada, podemos dizer que:
\( P(F(X) \leq y) = P(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y \).
Isso confirma que Y é uniformemente distribuído em [0, 1], ou seja, Y ∼ Uniforme(0, 1).
Agora, um resultado interessante é que, quando elevamos uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1] à quarta potência, a nova variável Y^4 seguirá uma distribuição beta com parâmetros que podem ser determinados a partir da transformação. Portanto, podemos concluir que Y^4 realmente segue uma distribuição beta. Assim, a resposta é CERTO.
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