Questão FC99598
Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual é num parâmetro tal que . A partir dessas informações, julgue o item
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
.
A partir dessas informações, julgue o item a seguir.
A função de densidade da variável aleatória X é dada pela forma f(x), tal que f(x) = xax−1, se x ≤ 0 e f(x) = 0, se x < 0
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A resposta é ERRADA. Vamos desvendar por que essa afirmação sobre a função de densidade é incorreta. Inicialmente, a questão nos apresenta a função de distribuição acumulada \( F(x) \), que é crucial para determinar a função de densidade, \( f(x) \). A relação básica entre essas duas funções é que a função de densidade é obtida pela derivação da função acumulada em relação a \( x \): \( f(x) = \frac{d}{dx}F(x) \). Dado que a função acumulada fornecida é \( F(x) = 1 - \frac{a}{x} \) para \( x \geq 0 \), ao derivarmos, obtemos:
\( f(x) = \frac{d}{dx}(1) - \frac{d}{dx}\left(\frac{a}{x}\right) \). Aqui, a derivada de \( 1 \) resulta em \( 0 \), e a derivada de \( \frac{a}{x} = a x^{-1} \) é calculada usando a regra do quociente ou a regra do poder, levando a \( -\frac{a}{x^2} \). Portanto, a expressa correta que encontramos é:
\( f(x) = \frac{a}{x^2}, \text{ se } x \geq 0 \) e \( f(x) = 0, \text{ se } x < 0 \).
A forma proposta na afirmação, \( f(x) = ax^{x-1} \) para \( x \leq 0 \), não só diverge da derivada que calculamos, como também não está definida nas condições corretas. Assim, a caracterização da densidade apresentada na proposição não é correta, resultando no gabarito ERRADO.
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