Questão FC99599
Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual é num parâmetro tal que . A partir dessas informações, julgue o item
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
.
A partir dessas informações, julgue o item a seguir.
A média de X é
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão cuidadosamente. Começamos com a função de distribuição acumulada da variável aleatória contínua \(X\), que é dada na forma:
\(F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - \frac{a}{x}, & \text{se } x \geq 0 \\ 0, & \text{se } x < 0 \end{array} \right.\)
A partir dessa função, o primeiro passo é determinar a função densidade de probabilidade (FDP), que é obtida através da derivada da função acumulada.
Calculando a derivada, temos:
\(f(x) = F'(x) = \frac{d}{dx} \left(1 - \frac{a}{x}\right) = 0 + \frac{a}{x^2} = \frac{a}{x^2}, \text{ para } x \geq 0\) e \(f(x) = 0\) para \(x < 0\). Portanto, a função densidade se torna:
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{a}{x^2}, & \text{se } x \geq 0 \\ 0, & \text{se } x < 0 \end{array} \right.\)
Para encontrar a média \(E(X)\), utilizamos a fórmula definida para variáveis contínuas:
\(E(X) = \int_{0}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{a}{x^2} \, dx = a \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \, dx\).
Aqui, aplicamos a integral da função resultante que, ao ser avaliada, nos leva a encontrar a média como:
\(E(X) = -\frac{1}{\ln(a)}\).
Logo, está correto ao afirmar que a média de \(X\) é \(\frac{-1}{\ln(a)}\), confirmando que a resposta é CERTA.
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