Considerando que X seja uma variável aleatória absolutamente contínua cuja função de distribuição acumulada seja representada por F(x), na qual julgue o próximo item, referente à t

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação foi julgada ERRADO porque a transformação \(Y=F(X)\), com \(X\) absolutamente contínua e \(F\) sua função de distribuição, gera uma variável com distribuição uniforme em \([0,1]\).

De fato, para \(y\in[0,1]\) vale \(P(Y\le y)=P(F(X)\le y)=P\big(X\le F^{-1}(y)\big)=F(F^{-1}(y))=y\). Assim \(F_Y(y)=y\), que é a cdf de uma Uniforme(0,1), independentemente da forma original de \(X\).

Logo, para calcular \(\mathbb{E}[\ln(Y)]\) usamos a densidade uniforme, obtendo \(\mathbb{E}[\ln(Y)]=\int_0^1 \ln y\,dy\). Essa integral vale \(-1\), portanto \(\mathbb{E}[\ln(Y)]=-1\).

Conclui-se que a assertiva original está incorreta, pois ignorou que \(Y\) é uniforme e que o valor esperado pedido é \(-1\).