Questão FC99606
Considerando uma amostra aleatória simples X1, ..., Xn retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Neste exercício, queremos analisar a soma ponderada definida por \( S_n = \sum_{k=1}^{n} 0,5^k X_k \). Primeiramente, observe que o termo \( 0,5^k \) pode ser reescrito como \( \frac{1}{2^k} \), o que nos ajuda a desvincular a ponderação associada a cada \( X_k \) na soma.
Para entender o comportamento limite de \( S_n \) à medida que \( n \) se torna muito grande, estabelecemos a série infinita:
\( S = \sum_{k=1}^{\infty} 0,5^k X_k \).
Aqui, aplicamos a propriedade da expectativa, que nos permite afirmar que o valor esperado da soma pode ser descrito como:
\( E[S] = E[X_1] \cdot E[0,5^1] + E[X_2] \cdot E[0,5^2] + \ldots \).
Considerando que os \( X_k \) são variáveis aleatórias retiradas de uma população normal com média \( \mu = 1 \), podemos simplificar a expectativa:
\( E[S] = 1 \cdot \left( 0,5 + 0,5^2 + 0,5^3 + \ldots \right) \).
Essa série é uma progressão geométrica com primeiro termo \( a_1 = 0,5 \) e razão \( q = 0,5 \). A soma dos termos dessa progressão geométrica, até o infinito, é dada por \( \frac{a_1}{1 - q} \). Logo, obtemos:
\( E[S] = 1 \cdot \frac{0,5}{1 - 0,5} = 1 \).
Portanto, podemos concluir que o valor esperado de \( S_n \) se aproxima de 1 à medida que \( n \) tende ao infinito, fazendo com que a afirmação inicial seja, de fato, CORRETA.
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