Questão FC99612
Considerando que W represente uma variável aleatória absolutamente contínua tal que P(W ≥ w) = e−2w, para w ≥ 0,e P(W ≥ w) = 1, para w < 0 definindo a variável aleatória discreta T
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
, julgue o seguinte item.P(T > 0) = P(W ≥ 1)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a expressão dada para a variável aleatória contínua W. A função de sobrevivência é dada por P(W ≥ w) = e−2w para w ≥ 0, o que caracteriza W como uma variável com uma distribuição exponencial. Agora, nossa tarefa é entender como isso se relaciona com a variável aleatória discreta T, definida pela condição P(T = t) = P(t ≤ W ≤ t + 1) para valores inteiros t não-negativos.
Reescrevendo a probabilidade de T, obtemos:
PT=t=P(t≤W≤t+1) = P(W ≥ t) − P(W ≥ t + 1).
Isso se transforma em:
\( P(T = t) = e^{-2t} - e^{-2(t+1)} = e^{-2t}(1 - e^{-2}) \).
Agora, examinamos a veracidade da relação P(T > 0) = P(W ≥ 1).
Para calcular P(T > 0), utilizamos a complementação:
\( P(T > 0) = 1 - P(T = 0) = 1 - e^{0}(1 - e^{-2}) = 1 - (1 - e^{-2}) = e^{-2} \).
Do outro lado, ao calcular P(W ≥ 1), obtemos P(W ≥ 1) = e^{-2}.
Portanto, verificamos que P(T > 0) = P(W ≥ 1) se mantém verdadeira, confirmando que a afirmação é CERTA.
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