Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue o item a seguir. Se X é uma variável aleatória exponencial de parâmetro unitário e U = 1−e−X , então U é uma variável ale

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comece pela função acumulada de \(X\), exponencial com parâmetro 1: \(F_X(x)=P(X\le x)=1-e^{-x}\) para \(x\ge0\).

Queremos \(F_U(u)=P(U\le u)=P(1-e^{-X}\le u)\). Isolando, obtemos \(e^{-X}\ge 1-u\), portanto \(-X\ge \ln(1-u)\) e \(X\le -\ln(1-u)\).

Logo \(F_U(u)=P\big(X\le -\ln(1-u)\big)=F_X\big(-\ln(1-u)\big)\). Substituindo a expressão de \(F_X\) surge

\(F_U(u)=1-e^{-(-\ln(1-u))}=1-(1-u)=u\), para \(0\le u\le1\).

Como a função acumulada de \(U\) é \(F_U(u)=u\) no intervalo \([0,1]\), \(U\) é uma variável aleatória uniforme em \([0,1]\). Este resultado é um caso do probability integral transform.