Questão FC99614
Uma variável aleatória contínua X possui função de distribuição acumulada dada pela expressão a seguir, na qual α é num parâmetro tal que . A partir dessas informações, julgue o it
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
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A partir dessas informações, julgue o item a seguir.
Na transformação Y = 1 − aX, a variável aleatória Y segue uma distribuição contínua com média 1/2 e variância 1/12.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para compreender a afirmação sobre a variável aleatória \( Y = 1 - a^X \) e sua distribuição contínua, devemos analisar a função acumulada de \( Y \). Inicialmente, a função acumulada \( F_Y(y) \) corresponde à probabilidade de que \( Y \) seja menor ou igual a \( y \):
\( F_Y(y) = P(Y \leq y) \) . Substituindo \( Y \) pela expressão dada, obtemos:
\( F_Y(y) = P(1 - a^X \leq y) \) . Rearranjando para isolar \( a^X \), temos:
\( F_Y(y) = P(a^X \geq 1 - y) \) . Ao aplicar o logaritmo na base \( a \) (lembrando que isso inverte a desigualdade), podemos expressar como:
\( F_Y(y) = P(X \leq \log_a(1 - y)) \) . Isso leva à substituição na função acumulada de \( X \), resultando em:
\( F_Y(y) = 1 - (1 - y) = y \) . Esta é a função acumulada de uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo \([0, 1]\). Para calcular a média e a variância desta distribuição uniforme, utilizamos as fórmulas:
\( \mu = \frac{a + b}{2} \) e \( \sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12} \) , onde \( a = 0 \) e \( b = 1 \). Assim, temos:
\( \mu = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} \) e \( \sigma^2 = \frac{(1 - 0)^2}{12} = \frac{1}{12} \) . Portanto, a resposta está correta: a afirmação sobre a média e variância de \( Y \) é CERTA.
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