Questão FC99615
Considerando que W represente uma variável aleatória absolutamente contínua tal que P(W ≥ w) = e−2w, para w ≥ 0,e P(W ≥ w) = 1, para w < 0 definindo a variável aleatória discreta T
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
, julgue o seguinte item.É correto afirmar que P(T = 1) = P(T = 0)xP(W ≤ 1).
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão proposta sobre as variáveis aleatórias W e T. Começamos com a variável W, que é contínua e sua distribuição é dada por P(W ≥ w) = e−2w para w ≥ 0, e P(W ≥ w) = 1 se w < 0. A função de densidade de probabilidade (PDF) associada a W pode ser obtida pela derivação desta expressão. Assim, a PDF de W é f(w) = 2e−2w para w ≥ 0, e f(w) = 0 para w < 0.
Agora, quanto à variável discreta T, sabemos que sua probabilidade é definida como P(T = t) = P(t ≤ W ≤ t + 1). Isso pode ser reescrito usando a função de sobrevivência de W como:
P(T = t) = P(W ≥ t) - P(W ≥ t + 1), que se simplifica a P(T = t) = e−2t (1 - e−2).
Agora, para a afirmação em questão, vamos avaliar P(T = 1) e P(T = 0) × P(W ≤ 1). Temos que P(T = 1) = e−2 (1 - e−2) e, por outro lado, P(T = 0) = (1 - e−2) e P(W ≤ 1) = 1 - e−2. Assim, o lado direito resulta em P(T = 0) × P(W ≤ 1) = (1 - e−2)². Portanto, a equação proposta P(T = 1) = P(T = 0) × P(W ≤ 1) não se sustenta, pois os resultados são claramente diferentes, o que valida a resposta ERRADO.
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