Questão FC99616
Considere uma variável aleatória contínua X cuja função densidade de probabilidade, f(x), seja dada por Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição unifo
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Considere também que uma variável aleatória U[m, n] tenha distribuição uniforme no intervalo [m,n].
Com base nessa situação hipotética, julgue o próximo item.
X pode ser gerada como a média de duas variáveis uniformes U[−a ,a ] independentes.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão com a aplicação dos conceitos de variáveis aleatórias. Para entender por que a afirmativa é CERTA, precisamos primeiro lembrar como a distribuição uniforme se comporta. Consideramos duas variáveis aleatórias, \( U_1 \) e \( U_2 \), que seguem uma distribuição uniforme no intervalo \([-a, a]\).
Cada uma dessas variáveis possui uma função densidade de probabilidade \( U(u) \) cuja forma é dada por:
\( U(u) = \frac{1}{2a} \) para \( -a < u < a \) e 0, caso contrário.
Agora, ao somar \( U_1 \) e \( U_2 \), geramos uma nova variável aleatória \( S = U_1 + U_2 \). Usando a convolução das funções densidade, podemos determinar a distribuição resultante. Essa operação nos leva a uma função densidade em forma triangular no intervalo \([-2a, 2a]\).
Agora, para obter a média dessas duas variáveis uniformes, podemos ajustar a distribuição da soma, dividindo-a por 2. Isso nos faz chegar a uma nova função densidade que, com os cálculos corretos, resulta na mesma forma da função densidade de probabilidade \( f(x) \) fornecida na questão. Em resumo, ao gerarmos \( X \) como a média de duas variáveis \( U[-a, a] \), estabelecemos a conexão que valida a idéia inicial, confirmando que X pode, de fato, ser gerada por médias de duas variáveis uniformes independentes.
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