Questão FC99617
Uma amostra aleatória simples de tamanho n é retirada de uma distribuição exponencial X com a função de densidade de probabilidade representada a seguir. Representando essa amostra
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Representando essa amostra aleatória simples como X1,⋯,Xn, julgue o item subsequente.
A variável aleatória
segue distribuição uniforme no intervalo [0, 1].Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para solucionarmos a questão, precisamos analisar a variável aleatória D = e^{-5X}, onde X é extraída de uma distribuição exponencial. Começamos pela determinação da função acumulada de D, que nos permitirá caracterizá-la. Queremos calcular \( P(D \leq x) = P(e^{-5X} \leq x) \).
Para isso, tomamos o logaritmo natural dos dois lados da inequação, o que nos leva a:
\( P(e^{-5X} \leq x) \) implica \( P(-5X \leq \ln x) \), resultando em \( P(X \geq -\frac{\ln x}{5}) \).
Como sabemos que a função acumulada da distribuição exponencial é dada por \( F_X(x) = 1 - e^{-5x} \), podemos expressar a probabilidade complementar como \( P(X \geq y) = e^{-5y} \). Assim, substituindo, temos:
\( P(X \geq -\frac{\ln x}{5}) = e^{-5(-\frac{\ln x}{5})} = e^{\ln x} = x \).
Logo, obtemos a função acumulada de D como \( P(D \leq x) = x \), que é exatamente a função acumulada de uma distribuição uniforme no intervalo \([0, 1]\). Portanto, a afirmação de que D segue uma distribuição uniforme está CERTA.
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