Questão FC99618
Uma amostra aleatória simples de tamanho n é retirada de uma distribuição exponencial X com a função de densidade de probabilidade representada a seguir. Representando essa amostra
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Representando essa amostra aleatória simples como X1,⋯,Xn, julgue o item subsequente.
A função de densidade da soma
é dada pela forma a seguir.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar por que a afirmação sobre a função de densidade da soma das variáveis aleatórias não está correta. Quando tiramos uma amostra aleatória simples de variáveis que seguem uma distribuição exponencial, cada uma com a mesma taxa de decadência, a soma dessas variáveis não resulta em uma distribuição exponencial, mas sim em uma distribuição Erlang.
Especificamente, a soma de \( n \) variáveis aleatórias exponenciais independentes, onde cada variável tem um parâmetro \(\lambda\), é caracterizada por uma função de densidade que segue a forma:
\( f(y) = \frac{\lambda^n y^{n-1} e^{-\lambda y}}{(n-1)!} \), para \( y \geq 0 \). Neste caso, a função de densidade dada na questão aponta equivocadamente para um formato que não se relaciona com a distribuição Erlang.
Se olharmos para a função de densidade no enunciado, percebemos que temos \(\lambda = 5\). Para \( n \) variáveis, a função correta deve ser escrita como:
\( f(y) = \frac{5^n y^{n-1} e^{-5 y}}{(n-1)!} \), onde \( y \geq 0 \). Portanto, isso nos leva à conclusão de que a afirmação é ERRADA, pois ignora a estrutura correta da soma de variáveis exponenciais e, ao invés disso, apresenta uma expressão errônea.
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