Questão FC99619
Uma amostra aleatória simples de tamanho n é retirada de uma distribuição exponencial X com a função de densidade de probabilidade representada a seguir. Representando essa amostra
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Representando essa amostra aleatória simples como X1,⋯,Xn, julgue o item subsequente.
A seguir, é apresentada a função de densidade da variável aleatória W = 5X.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a situação cuidadosamente. Temos uma amostra aleatória simples da variável aleatória X, que segue uma distribuição exponencial com a função de densidade de probabilidade \( f(x) = 5e^{-5x} \) para \( x \geq 0 \). Agora, queremos encontrar a função de densidade da nova variável aleatória \( W = 5X \).
Para isso, precisamos utilizar a técnica de transformação de variáveis. Primeiro, estabelecemos a relação: \( P(W \leq w) = P(5X \leq w) \), o que nos leva a \( P(X \leq \frac{w}{5}) \).
A função de distribuição acumulada de \( X \) é dada por \( P(X \leq x) = 1 - e^{-5x} \). Assim, substituindo \( x \) por \( \frac{w}{5} \), temos:
\( P(X \leq \frac{w}{5}) = 1 - e^{-5 \cdot \frac{w}{5}} = 1 - e^{-w} \).
Portanto, essa cumulativa corresponde a uma distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda = 1 \). Para encontrar a função de densidade de \( W \), derivamos a função acumulada:
\( f(w) = \frac{d}{dw}(1 - e^{-w}) = e^{-w} \), para \( w \geq 0 \).
Portanto, a função de densidade correta é \( f(w) = e^{-w} \), e não \( 5 e^{-w} \), como foi apresentado na questão. Por isso, a resposta está classificada como ERRADO.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em