Questão FC99620
Uma amostra aleatória simples de tamanho n é retirada de uma distribuição exponencial X com a função de densidade de probabilidade representada a seguir. Representando essa amostra
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Representando essa amostra aleatória simples como X1,⋯,Xn, julgue o item subsequente.
Se
, então 
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar os conceitos que nos levam a concluir que a afirmação é CERTA. Primeiramente, ao termos uma amostra aleatória simples de uma distribuição exponencial, estamos lidando com variáveis que, pela sua natureza, são independentes e seguem uma distribuição caracterizada pela função de densidade de probabilidade. A variável M representa o menor valor encontrado na amostra, ou seja, M = min{X1, X2, ..., Xn}. Para determinar P(M > 1), devemos compreender que essa probabilidade está relacionada à ocorrência de todos os valores amostrais serem superiores a 1. Em termos matemáticos, podemos expressar isso pela probabilidade complementar:
P(M ≤ m) = 1 - P(M > m). Assim, vamos focar em calcular P(M > 1). A condição M > 1 implica que cada elemento da amostra é maior que 1, portanto temos:
P(M > 1) = P(X1 > 1) * P(X2 > 1) * ... * P(Xn > 1), onde, devido à independência, podemos multiplicar as probabilidades. A partir da função de sobrevivência de uma variável exponencial, obtida como P(X > x) = e^{-λx}, para a nossa situação específica (λ = 5), a expressão se torna P(X > 1) = e^{-5}. Logo, substituindo na equação dos mínimos:
P(M > 1) = (e^{-5})^n = e^{-5n}. Portanto, chegamos à conclusão que P(M > 1) = e^{-5n}, demonstrando que a afirmação está CERTA.
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