Questão FC99621
Considerando que W seja uma variável aleatória absolutamente contínua tal que julgue o item a seguir. Se U segue a distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1], então .
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2023
julgue o item a seguir.
Se U segue a distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1], então
.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos entender por que a afirmação é CERTA! Consideremos a variável aleatória W, que está relacionada a U, uma variável que segue a distribuição uniforme contínua no intervalo [0,1]. A construção de W parte do seguinte: W = -\ln(U). Agora, para encontrarmos a função de distribuição acumulada de W, precisamos primeiro descobrir o comportamento de U sob essa transformação.
Aonde levantamos a questão: qual é a probabilidade de X ser menor ou igual a um determinado valor x? Isso se traduz na expressão P(X ≤ x) = P(-\ln(U) ≤ x). Ao exponentiar, obtemos P(U ≥ e^{-x}).
Agora, sabemos que a distribuição uniforme gera naturalmente a função acumulada: P(U ≤ u) = u. Assim, é possível concluir que P(U ≥ v) = 1 - v para v no intervalo [0,1].
Substituindo na nossa equação, temos P(U ≥ e^{-x}) = 1 - e^{-x}, que é precisamente a função de distribuição acumulada da variável W. Deste modo, a execução do passo a passo vem a confirmar que W = -\ln(U), validando a afirmação da questão. Portanto, reafirmamos: a resposta é CERTA.
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