Questão FC99625
Considerando uma sequência de variáveis aleatórias discretas {Xk} , em que , para , julgue o item a seguir, com relação à soma . O valor esperado de Sn é igual a zero.
Principais Distribuições Discretas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
, para 
, julgue o item a seguir, com relação à soma 
.O valor esperado de Sn é igual a zero.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos explorar a questão proposta de forma envolvente e acessível. Temos uma sequência de variáveis aleatórias discretas {Xk}, com a distribuição de cada variável definida por 
, onde para cada k, temos duas possíveis saídas: -0,2k e 0,2k, ambas com probabilidade de 0,5.
Para determinar o valor esperado de cada variável, utilizamos a definição de valor esperado \( E[X_k] \), que consiste em somar os produtos de cada valor possível por suas respectivas probabilidades:
\( E[X_k] = -0,2^k \cdot 0,5 + 0,2^k \cdot 0,5 = 0 \).
Observe que esse cálculo se aplica de forma idêntica para cada variável em nossa sequência {Xk}.
Agora, ao somar todas essas variáveis para obter a soma \( S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k \), podemos usar a propriedade linearidade do valor esperado:
\( E[S_n] = E[X_1] + E[X_2] + \ldots + E[X_n] \).
Como já sabemos que cada \( E[X_k] \) é igual a zero, concluímos que \( E[S_n] = 0 + 0 + \ldots + 0 = 0 \).
Portanto, a afirmação de que o valor esperado de \( S_n \) é igual a zero está absolutamente correta! Assim, estamos prontos para garantir a veracidade da resposta: 'CERTO'.
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