Considerando que uma variável aleatória X siga uma distribuição binomial com média igual a 80 e desvio padrão igual a 4, julgue o item a seguir. P (X = 0) = 0,20

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é ERRADA porque houve confusão entre a probabilidade de um único ensaio falhar e a probabilidade de todos os n ensaios darem 0 sucessos.

Para uma binomial \(X\sim Bin(n,p)\) valem \(E[X]=np\) e \(Var[X]=np(1-p)=\sigma^2\). Como a média é 80 e o desvio padrão é 4, temos \(np=80\) e \(np(1-p)=16\).

Substituindo \(np=80\) em \(np(1-p)=16\) resulta \(80(1-p)=16\), daí \(1-p=0{,}2\) e \(p=0{,}8\). Então \(n=100\).

A probabilidade pedida é \(P(X=0)=\binom{n}{0}p^0(1-p)^n=(1-p)^n\). Com os valores obtidos, \(P(X=0)=0{,}2^{100}\), que é um número extremamente pequeno, muito diferente de \(0{,}20\).