O conjunto de dados {1, 0, 5, 2, 4} é uma amostra retirada aleatoriamente de uma população binomial com parâmetros n e p, em que n representa o número de ensaios independentes de B

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação foi julgada ERRADO porque a variância de uma binomial tem expressão conhecida, e essa expressão impõe um limite máximo independente dos dados observados.

Seja \(X\sim Bin(n,p)\), a variância populacional é \(Var(X)=np(1-p)\). Considere a função \(f(p)=p(1-p)=p-p^2\), com \(0\le p\le1\).

Derivando, \(f'(p)=1-2p\), a raiz é \(p=\tfrac{1}{2}\) e é ponto de máximo. Logo \(f(p)\le f(1/2)=\tfrac{1}{4}\), para todo \(p\) admissível.

Portanto \(Var(X)=np(1-p)\le n\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{n}{4}\). Como \(\tfrac{n}{4}<\tfrac{n}{2}\) para \(n>0\), a variância populacional não pode ser superior a \(n/2\).