Questão FC99649
Suponha que uma população de tamanho N seja constituída pelos elementos y1, … , yn, de modo que a média populacional é representada como e a variância populacional é definida como
Principais Distribuições Discretas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
e a variância populacional é definida como
tal que V > 0. Denotando-se uma amostra aleatória simples de tamanho retirada dessa população como Y1, …, Yn, e considerando que a média amostral possa ser escrita como
julgue o item seguinte.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar com atenção a estrutura dessa questão, onde temos uma população composta por elementos y1, …, yN, e sabemos que a média populacional é dada por μ = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} y_{i} e a variância por V^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (y_{i}-μ)^2, sendo que V > 0. A importância da média e da variância reside no fato de que essas métricas nos ajudam a entender as características centrais e a dispersão da população.
Quando extraímos uma amostra aleatória simples com tamanho n, denotada como Y1, …, Yn, a média amostral é expressa como \overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} π_{i} y_{i}, onde denominamos πi ~ Binomial(n, \frac{1}{N}) para cada um dos elementos amostrados. Isso nos mostra que a média amostral é uma soma ponderada dos valores populacionais, com pesos determinados pela variável binomial.
A fórmula da variância para a distribuição binomial é essencial para demonstrar que Var(π_{i}) = n \cdot \frac{1}{N} \left(1 - \frac{1}{N}\right). A variância dessa distribuição depende de dois fatores: o número de experimentos (n) e a probabilidade de sucesso p = \frac{1}{N}. Portanto, ao reorganizar, obtemos a variância desejada: Var(π_{i}) = \frac{n}{N} \left(1 - \frac{1}{N}\right), confirmando que o gabarito está CERTO. Isso nos leva a concluir que a variação do número de sucessos na amostra segue a regra específica da binomial, alinhando-se perfeitamente com as propriedades estatísticas que estamos utilizando.
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