Questão FC99670
Supondo que a possibilidade de um indivíduo se gripar ao longo do ano siga uma distribuição de Poisson com que, ao indivíduo tomar a vacina, o parâmetro caia para 3 em 75% da popul
Principais Distribuições Discretas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
que, ao indivíduo tomar a vacina, o parâmetro 
caia para 3 em 75% da população; que, por hipótese, a vacina contra a gripe não produza efeito em 25% da população; e considerando que a função de probabilidade 
e que é a frequência média, t é o intervalo contínuo e x é a probabilidade de estudo, julgue o seguinte item.Informações complementares:
e−3 = 0,049
e−5 = 0,0067
Caso o indivíduo tenha tomado vacina durante o ano e, mesmo assim, tenha contraído duas gripes, a probabilidade de a vacina ser benéfica para ele é inferior a 50%.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar essa questão de forma clara! A situação descrita envolve um indivíduo que tomou uma vacina contra a gripe, onde 75% da população se beneficia e 25% não nota efeito. Estamos interessados na probabilidade de que a vacina tenha sido benéfica após o indivíduo ter contraído duas gripes. Vamos utilizar o Teorema de Bayes para calcular essa probabilidade condicional, que é indicada por \( P(B|X=2) \), onde B representa a vacina sendo benéfica e X o número de gripes. Aplicando a fórmula de Bayes, temos:
\( P(B|X=2) = \frac{P(X=2|B) P(B)}{P(X=2|B) P(B) + P(X=2|B^c) P(B^c)} \).
Aqui, precisamos calcular duas probabilidades: \( P(X=2|B) \) e \( P(X=2|B^c) \). Para a população que se beneficiou da vacina, onde o parâmetro \( \lambda \) é reduzido para 3, usamos a função de probabilidade de Poisson:
\( P(X=2|B) = e^{-3} \frac{3^2}{2!} = 0,049 \cdot \frac{9}{2} \approx 0,2205 \). Para aqueles onde a vacina não foi eficaz, \( \lambda = 5 \), temos:
\( P(X=2|B^c) = e^{-5} \frac{5^2}{2!} = 0,0067 \cdot \frac{25}{2} \approx 0,08375 \).
Agora plugamos esses valores na fórmula de Bayes:
\( P(B|X=2) = \frac{0,2205 \cdot 0,75}{(0,2205 \cdot 0,75) + (0,08375 \cdot 0,25)} \approx \frac{0,165375}{0,165375 + 0,0209375} \approx 0,886 \).
Assim, a probabilidade de que a vacina tenha sido benéfica é de cerca de 88%, o que claramente contraria a afirmação de que seria inferior a 50%. Portanto, a resposta está correta: ERRADO!
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