Questão FC99678
Com relação a probabilidade e variáveis aleatórias, julgue o item a seguir. Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada
Principais Distribuições Discretas
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Considere que X seja uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade apresentada a seguir.
Se X é uma variável aleatória geométrica de parâmetro 1/3, então o valor esperado da variável aleatória
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação sobre a variável aleatória X, que foi classificada como geométrica com o parâmetro p = \frac{1}{3}. Para variáveis geométricas, a função de probabilidade é definida como:
\( P(X = x) = p(1 - p)^{x - 1} \)
Portanto, no nosso caso, a função se torna:
\( P(X = x) = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3} \right)^{x - 1} \)
O valor esperado de uma variável geométrica é dado pela fórmula:
\( E[X] = \frac{1}{p} \)
Assim, para p = \frac{1}{3}, temos:
\( E[X] = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \)
Agora, se Y é uma nova variável definida como Y = \frac{1}{5} X, o valor esperado de Y pode ser calculado de forma dispersa:
\( E[Y] = E\left[\frac{1}{5} X\right] = \frac{1}{5} E[X] = \frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5} \)
Observando a afirmação original, podemos concluir que a assertiva está ERRADA, já que o valor esperado de X é 3 e de Y é \frac{3}{5}, esclarecendo assim a confusão que levou à resposta incorreta.
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